8.6.2 直线与平面垂直 一、单选题 1.若直线 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 垂直的直线（ ） A. 只有一条 B. 有无数条 C. 是平面内的所有直线 D. 不存在 2.在正方体 中，，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3.在四面体 中， 平面 ，，若 ，则 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4.在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， 平面 ，且 ，则 与平面 所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在三棱锥 中，已知 平面 ，，，。点 是 的中点。下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 6.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，，。点 是 的中点。下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. D. 平面 二、多选题 7.下列说法正确的有（ ） A. 过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 B. 过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 C. 过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 D. 过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 8.在正三棱锥 中，侧棱长为 3，底面边长为 2， 和 分别为棱 和 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 与 所成角的正切值为 B. 与 所成角的正切值为 C. 与面 所成角的余弦值为 D. 与面 所成角的余弦值为 9.设 ， 为不重合的两条直线，， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若 且 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则 三、填空题 10.在长方体 中，，则点 到平面 的距离为_____。 11.在等腰梯形 中，，，，四边形 为平行四边形， 平面 ， 为线段 的中点。若要证明 平面 ，可补充条件____ （写出一个满足要求的条件即可）。 12.在正方体 中，，则直线 与平面 所成角的正弦值为_____。 四、解答题 13.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 和 分别是 和 的中点。求证：。 在三棱锥 中， 平面 ，，，， 为棱 的中点。求证： 平面 。 15.在长方体中，，，，为的中点，为的中点。 (1) 证明：平面； (2) 求点到平面的距离。 一、单选题 1.答案：B 解析：即使直线与平面不垂直，平面内仍存在无数条直线与该直线垂直（如平面内与直线的投影垂直的直线）。 2.答案：A 解析：正方体中，对角线 平面 ，点 到平面的距离为对角线长度的一半。，故距离为 。 3.答案：C 解析：由勾股定理，，。 4.答案：B 解析： 与平面 所成角为 ，，，故夹角为 。 5.答案：A 解析：由于 平面 ，根据线面垂直的性质， 和 。 在 中，，，，满足 ，因此 是直角三角形，且 ，即 。 由于 和 ，且 ，根据线面垂直的判定定理， 平面 。 由于 平面 ，且 平面 ，因此 。 又因为 （因为 平面 ），且 ，根据线面垂直的判定定理， 平面 。 6.答案：A 解析：以点 为坐标原点，、、 分别为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系。 则各点坐标为：，，，，。 计算向量 。 平面 的法向量为 。 计算 ，因此 不垂直于平面 。 但是，由于 平面 ，且 在 上，因此 与 共线，即 。 因此， 平面 。 二、多选题 7.答案：ABC 解析：A、B正确：线面垂直的唯一性定理； C正确：过平面外一点可作无数条直线平行于平面内任意直线； D错误：过直线外一点可作无数条直线与已知直线垂直（异面垂直或相交垂直）。 8.答案：BC 解析：取 中点 ，连接 ，则 与 所成角为 ，计算得 ； 与面 所成角的正弦值为 ，余弦值为 。 9.答案：BD 解析：B正确：垂直于同一平面的直线平行； D正确：垂直于同一直线的平面平行； A、C错误：可能异面或相交。 三、填空题 10.答案： 解析：同单选题第2题，点 到平面 的距离为 。 11.答案示例： 解析：需证明 垂直平面 内两条相交直线（如 和 ），补充 后，结合 即可得证。 12.答案： 解析：直线 与平面 所成角为 ，正弦值为 。 四、解答题 13.证明： 连接 和 。在 和 中，，，所 ... ...
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