22.3 相似三角形的性质 素养目标 1.理解两个相似三角形中的对应特殊线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比. 2.理解两个相似三角形周长之比等于相似比. 3.理解两个相似三角形面积之比等于相似比的平方. ◎重点:相似三角形的性质. 【预习导学】 知识点一：相似三角形中的特殊线段 阅读课本本课时“思考”之前的内容,回答下列问题. 1.在“图22-23”中,作两个相似三角形的高,可以很容易得到两个直角三角形两个内角对应 ,从而得到另外一组相似三角形. 2.如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,若AD,A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,则由∠BAC=∠B'A'C'可得∠BAD= ,又因为∠B= ,所以△BAD∽△B'A'D',从而可知AD∶A'D'= .若AD,A'D'分别是BC和B'C'的中线,则由=,可得=,即=,又因为∠B= ,所以△BAD∽△B'A'D',从而可知AD∶A'D'= . 归纳总结 定理1:相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 . 学法指导：两个全等的三角形,对应的高、中线、角平分线也相等.两个相似三角形,对应的高、中线、角平分线之比等于相似比. 知识点二：相似三角形的周长之比与面积之比 阅读课本本课时“思考”至“例1”前的内容,回答下面的问题. 1.如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么=== ,由等比性质,得= . 2.如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,AD,A'D'是对应高,那么由三角形的面积公式及定理1,可得==·= . 归纳总结 定理2:相似三角形周长的比等于 . 定理3:相似三角形面积的比等于 . 1.若△ABC∽△AB'C,且面积比为4∶9,则其对应边上的高的比为 ( ) A. B. C. D. 2.已知△ABC的三边分别是5,6,7,与它相似△A'B'C'的最短边为10,则△A'B'C'的周长是 . 【合作探究】 任务驱动一 1.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是 ( ) A. m B. m C. m D. m 任务驱动二 2.△ABC与△A1B1C1是相似三角形,且=2,S△ABC=9,则= . 任务驱动三 3.已知一个三角形的三边长分别是1,2,3,与其相似的三角形的最大边长为3,求较大三角形的周长. 方法归纳交流 利用相似三角形的性质求三角形的周长或面积,一般要知道 和其中一个三角形的 或 . 任务驱动四 4.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD. (1)求证:△ABF∽△CEB. (2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积. 1.如果两个相似三角形的面积之比为9∶4,那么这两个三角形的周长之比为 ( ) A.81∶16 B.27∶12 C.9∶4 D.3∶2 2.如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,边DE与点B在同一直线上,已知直角三角形纸板中DE=16 cm,EF=12 cm,测得眼睛D离地面的高度为1.8 m,他与“步云阁”的水平距离CD为104 m,则“步云阁”的高度AB是 ( ) A.75.5 m B.77.1 m C.79.8 m D.82.5 m 3.已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶3,则下列说法中,结论正确的是 . ①对应中线之比为2∶3;②对应角平分线之比为3∶2;③△ABC与△DEF的周长之比为4∶9;④△ABC与△DEF的面积之比为4∶9. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.相等 2.∠B'A'D' ∠B' k ∠B' k 归纳总结 相似比 知识点二 1.k k 2.k2 归纳总结 相似比 相似比的平方 对点自测 1.C 2.36 【合作探究】 任务驱动一 1.C 任务驱动二 2.36 任务驱动三 3.解:∵边长分别是1,2,3的三角形的最大边为3,小于另一三角形的最大边3, ∴这个三角形的周长等于1+2+3=4+2, ∴它与另一三角形的相似比=3∶3=1∶, 它与另一三角形的周长的比也为1∶, ∴另一三角形的周长=(4+2)×=4+4. 方法归纳交流 相似比 周长 面积 任务驱动四 4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ ... ...
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