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课件网) 湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.2.3 等差数列的前n项和 1.2 等差数列 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. 4.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 5.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 情景导入 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人之一，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 1.等差数列的前 n 项和 新知探究 被世人誉为"数学王子"的德国数学家高斯在幼年就显示出过人的数学天赋，他的老师布置了一道看上去很难的题，计算1+2+3+...+100=？高斯经过细致的观察，迅捷地报出了得数：5 050. 在老师与同学露出惊讶之色时，他解释了自己的思考过程： 将这 100个数分成 50 个数对，其中1＋100=101，2＋99=101，…， 50＋51=101，于是 100 个数的和就是 50 个101，即 50× 101=5 050． 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…,n, …前100项之和的问题. 事实上，古代的中国人和希腊人也是这么求等差数列之和的.例如：我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？答：36束．” 8层 { { 9束 他的计算方法可以用右图来表示． 设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束． 在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了． 前人计算等差数列前n项和的方法的确巧妙，那么这种方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1 两式两边分别相加，得 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an) 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式 又因为an=a1＋(n－1)d， 所以上述公式又可以写成 如果数列{an}为等差数列，那么 an＋ am = ap＋ aq （n，m，p，q∈N+） (a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=… 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定． 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个 量，故知三可求其二． 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 概念归纳 例 7 某体育馆一角的看台上有20排，每一排比前一排多两个座位，若第一排有15个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？ 解： 设第n排的座位有an个， 则得到的数列{an}（1≤n≤20）是首项为15，公差为2的等差数列． 根据等差数列前n项和公式， 这一角里总共的座位数为 课本例题 课本例题 例 8 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 解： 记该数列为{an}，公差为d， 根据等差数列前n项和公式，可得 S10=10a1＋45d =310，S20=20a1＋190d =1220， 解得a1=4，d =6， 因此该等差数列的前n项和为 解： 因为Sn=n2＋2n， 所以当n ≥2 时，有 an=Sn－Sn－1 =(n ... ...
