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课件网) 湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 *1.4 数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理 2.利用数学归纳法证明等式 3.归纳—猜想—证明 情景导入 如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的， 是否判断盒子里面的小球都是绿色的？ 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法. 不完全归纳法得到的结论不一定正确. 在多米诺骨牌游戏中，我们该如何保证所有的骨牌全部倒下？ 要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块滑牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下. 情景导入 1.数学归纳法的概念 新知探究 本章研究了大量与正整数 n 有关的数列问题. 请你尝试解决下列问题： 通过对n=1，2，3，4进行归纳，可以猜想数列的通项公式是： 像这样由特殊到一般的推理方法，叫作归纳法. 用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律. 当然，仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是不正确的. 例如“n +n+11是质数”这个命题对于n=1，2，3，…，9都成立，但当n=10时，10 +10+11=121=11 ，是一个合数. 概念归纳 大家熟悉的“多米诺骨牌效应”或许能给我们以启发. 将骨牌竖立起来摆成一排，并确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.若推倒第一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，以此类推，直到所有骨牌全部倒下. 如何找到这样一种推理方法呢？ （1）（奠基）最初的一个命题正确, （2）（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性，那么便证明了这一系列命题的正确性. 第一步奠基, 证明最初一个命题正确，相当于我们已经亲手“推倒第一块骨牌”. 第二步递推, 意味着“每一块倒下的骨牌怎样将下一块骨牌带倒”. 这样一来，无论有多少块骨牌，只要保证（1）和（2）成立，那么所有的骨牌一定都会倒下. 概念归纳 注意点： 初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择. (1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3. 典例剖析 C (2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上_____. 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时， 等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以在n＝k时的左边应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 练一练 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D 2.利用数学归纳法证明等式 新知探究 课本例题 例 2 用数学归纳法证明： 这表明，当n=k+1时，等式也成立. 课本例题 典例剖析 题型 1 用数学归纳法证明等式问题 概念归纳 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 1.求证：12 ... ...
