2.1.1等式的性质与方程的解集 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.1等式的性质与方程的解集 一、学习目标 1.掌握等式的性质，能够对二次三项式实施因式分解，会通过因式分解解一元二次方程. 2.掌握因式分解法解一元二次方程。 二、重难点 重点：方程的解法 难点：因式分解法解方程 三、知识梳理 1.等式的基本性质 （1）等式的两边同时加上(减去)_____数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以(除以)同一个_____的数或代数式，等式仍成立． 整理如下： （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac ＝ bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么＝. 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_____时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边_____． 3.十字相乘法 对任意的x，a，b，都有(x+a)(x+b)=_____. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C = a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 4.方程的解集 方程：含有_____的等式叫方程. 方程的解（或根）：能使方程左右两边_____的未知数的值叫方程的解. 方程的解集：把一个方程所有解组成的_____称为这个方程的解集. 解方程：求方程的解的过程叫解方程. 应用举例 例1：解方程 1. 2. 3. 4. 答案：1. 2. 3. 4. 例2.求关于的方程的解集，其中是常数. 答案：当时方程误解，当时， 五、课堂训练 1.求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.利用十字相乘法分解因式： （1）； （2）. 3.求方程的解集. 4.求证：对任意的x，a，b，都有. 5.已知“任意t和s，都有”是真命题，借助这个结论将进行因式分解. 6.将展开，并由此得到的展开式. 7.将展开，并由此得到的展开式. 8.利用十字相乘法分解因式： （1）； （2）. 9.求关于x的方程的解集，其中a是常数. 10.已知集合，，若，求实数a的值. 六、课后练习 1.已知关于x的方程的解集是，则_____. 2.将下列各式分解因式： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____. 3.定义二阶行列式为，且.若，则其解集为_____. 4.已知，求的值. 5.已知关于x的方程的两根之和为3，两根之积为2，求b，c的值. 6.求方程的解集. 7.判定集合和之间的关系. 8.下列等式中，哪些是恒等式？ （1）； （2）； （3）； （4）. 9.已知，方程有一个根是，求的值. 10.求下列方程的解集： （1）； （2）. 答案及解析 三、知识梳理 1.（1）同一个 （2）不为零 2.任意实数 恒等 3.x2+(a+b)x+ab 4.未知数 相等 集合 五、课堂训练 1.答案：（1） （2） （3） （4） 解析：（1）移项，得， 合并同类项，得，系数化为1，得， 所以原方程的解集为； （2）去分母，得， 去括号，移项，得， 合并同类项，得，系数化为1，得， 所以原方程的解集为； （3）原方程化为，解得， 所以原方程的解集为； （4），原方程化为， 解得或， 所以原方程的解集为. 2.答案：（1） （2） 解析： 3.答案： 解析：由，解得或或或， 所以方程的解集为. 4.答案：证明见解析 解析：右边， 所以右边=左边， 即证对任意的x，a，b，都有成立. 5.答案： 解析：由题意可知，. 6.答案： 解析： ； 用代替上式中的b，得. 7.答案： 解析： . 用代替上式中的b，代替上式中的c， 得. 8.答案：（1） （2） 解析：（1），， . （2），， . 9.答案：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为 解析：原方程化为， 当，即时，此时方程的群为； 当，即时，此时方程无解. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 10.答案：0，，1 解析：显然集合，对于集合. 当时， ... ...