3.1.1函数及其表示方法 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.1函数及其表示方法 学习目标 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 二、重难点 重点：函数的概念理解，函数定义域的求解 难点：用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用 三、知识梳理 1.函数的有关概念及其记法 （1）一般地，给定两个_____A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的_____实数x，在集合B中都有_____的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的_____，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的_____． （2）函数的三要素：_____，对应关系，值域. 2.同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数表达式表示的函数_____相同，_____也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 3.函数的表示方法 表示法 定义 解析法 用_____表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式 图象法 以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用_____表示两个变量之间对应关系的方法叫作图象法 列表法 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出_____来表示两个变量之间对应关系的方法叫作列表法 4.描点作图法 一般情况下，要作出一个函数的图象，只需描出_____即可．但是，很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实．实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象． 5.分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有_____，则称其为分段函数． 6.常数函数 值域_____元素的函数，通常称为常数函数． 7.取整函数 ，其定义域是_____，值域是_____．这个函数早在 18 世纪就被＂数学王子＂高斯提出，因此也被称为高斯取整函数． 应用举例 类型1：函数的概念 例1：（1）下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A．f（x）＝，g（x）＝x B．f（x）＝x，g（x）＝ C．f（x）＝，g（x）＝x D．f（x）＝x2，g（x）＝（）4 （2）判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数． ①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝； ②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4； ③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示． （1）C 选项A中，由于f（x）＝＝|x|，g（x）＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f（x）＝＝x，g（x）＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（）4＝x2的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数． （2）解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数． ②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数． ③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数． 例2：求下列函数的定义域： （1）f（x）＝2＋； （2）f（x）＝（x－1）0＋； （3）f（x）＝·； （4）f（x）＝－ ... ...