3.2函数与方程、不等式之间的关系 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.2函数与方程、不等式之间的关系 学习目标 1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系． 2．会求函数的零点． 3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集． 二、重难点 重点：理解函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集 难点：利用零点法求不等式的解集 三、知识梳理 1.零点的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在实数 α 处的函数值等于_____，即_____，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2.方程的根与函数零点的关系 注：函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 3.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 _____ _____ R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 _____ _____ _____ 4.函数零点的判定 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且_____(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈[a，b]，f(x0)＝0. 注：定理要求具备两条： ①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)f(b)＜0. 5.二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间_____，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 6.二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 四、应用举例 例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点． 解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0， ∴（x3－x）－（6x－6）＝0， ∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0， 解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3． 例2：利用函数求下列不等式的解集： （1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0； （3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）． 解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6． 结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）． （2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0． 方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3． 结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）． （3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2， 即9x2－12x＋4＞0． 解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝． 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知， 原不等式的解集为∪． 五、课堂训练 1.求下列函数的零点： （1）； （2）. 2.如图所示是函数的图象，分别写出，，的解集. 3.利用函数求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 4.判断下列命题的真假： （1）若函数的图象是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中至少有一个零点； （2）若函数的图象是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中一定没有零点. 5.判断一次函数是否一定存在零点，并说明理由. 6.已知，且的解集是，求实数a，b的值. 7.当m是什么实数时，函数没有零点？ 8.写出一个同时满足下列两个条件的函数： （1）； （2）无零点. 9.定义域 ... ...