4.3.2 等比数列的前n项和公式 一、学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 二、重难点 重点：等比数列的前n项和公式. 难点：等比数列的前n项和公式及应用. 三、自主预习 1.等比数列的前n项和公式： 或 .当时, 2.推导公式的方法是_____ 四、应用举例 例1 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得，所以. （3）把，，代入，得. 整理，得.解得. 例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q. 解：若，则，所以. 当时，由，得. 整理，得，即.所以. 例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当时，，，， 所以，，成等比数列，公比为1. 当时，， ， . 所以. 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. 例4 如图，正方形ABCD的边长为5 cm.取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，则. 由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以. 因此是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前n项和为. （1）. 所以前10个正方形的面积之和为. （2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和， 而， 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，， . 当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…. （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数； （3）求的值（精确到1）. 解：（1）由题意，得，并且.① （2）将化成.② 比较①②的系数，可得.解方程组得. 所以（1）中的递推公式可以化为. （3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则. 所以. 课堂练习 （一）课本练习 1.已知数列是等比数列. （1）若，，，求； （2）若，，，求； （3）若，，求与. 2.已知，且.对于，证明：. 3.设等比数列的前n项和为，已知，.求和. 4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64.求这个等比数列的首项和公比. 5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 6.一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. （1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）？ （2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？ 7.某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资 ... ...
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