4.4数学归纳法 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4* 数学归纳法 学习目标 1．了解归纳法的意义，形成观察、归纳、发现的能力，能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式； 2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤； 二、重难点 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析； 难点：数学归纳法中递推思想的理解。 三、自主预习 1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 时命题成立； （2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”. 完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有 都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为 ；（2）若，为真，则 也为真. 结论： 为真. 应用举例 例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立。 证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k－1) d。 那么ak+1=ak+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 由（1）和（2）可以判定，等式对任何n∈N*都成立。 例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。 ∴n=k+1时也成立。 由（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。 五、课堂练习 （一）课本练习 1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当时，. 证明：假设当时，等式成立，即. 则当时，左边右边. 所以当时，等式也成立. 由此得出，对任何，等式都成立. （2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是. 证明：①当时，左边，右边，等式成立. ②假设当时，等式成立，即. 则当时，， ， 上面两式相加并除以2，可得， 即当时，等式也成立. 由①②可知，等差数列的前n项和公式是. 2.用数学归纳法证明：首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是. 3.用数学归纳法证明：. 4.若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明. 5.观察下列两个数列，： 数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…； 数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…. 猜想从第几项起小于，并证明你的结论. 6.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. （二）课本习题 1.用数学归纳法证明下列等式：.要验证当时等式成立，其左边的式子应为( ). A. B. C. D. 2.已知数列，满足，.计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 3.已知数列，，，…，，…的前n项和为.计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明. 4.用数学归纳法证明：. 5.已知数列，的通项公式分别为，，其中.试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论. 6.已知数列满足，.试用数学归纳法证明，并比较与的大小关系. 7.证明：能够被6整除. 8.一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明. 9.已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则. 请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 六、课后练习 1.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式( ) A. B. C. D. 2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应 ... ...