/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科 综合与实践 最短路径问题 创设学习场景 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 悬念激趣 先来看著名的“将军饮马问题”: 古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:如图15-ZH-1,由A地出发到笔直的河岸去饮马,然后再去B地,怎样走路线最短呢 图15-ZH-1 精通数学、物理学的海伦是这样解答的:作点B关于笔直河岸的对称点B',连接AB'交河岸于点C,点C即为所求.即从A地到C处饮马,再从C处去B地,这样所走的总路程最短.解释原因时海伦指出:再另外任取一点C',在此处饮马然后到B地的路线都会比线段AB'长. 海伦精彩地利用翻折法将一个折线问题转化为一个直线问题,那么解决最短路径问题有哪些规律呢 让我们一起来探索一下吧! [教学提示] 利用名题赏析引入课题,让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程,激发学生的学习兴趣.教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望.教师为了讲清楚这个问题可作如下问题设置:这是一个实际问题,你能将这个问题抽象为数学问题吗 你打算首先做什么 实际情境 如图15-ZH-2,小区A,B分别位于公路l的两侧,现要在公路旁建一个液化气站C,要求到两个小区的距离之和最短,问应建在什么地方 图15-ZH-2 图15-ZH-3 如图15-ZH-3,要在燃气管道l上修建一个泵站C,分别向同侧两地A,B供气,问泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短 [教学提示] 通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学生的学习兴趣.教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望,要注重发挥小组合作学习的能力,让学生在问题的解决过程中掌握一定的数学思想方法. 教材母题模型 教材母题———第95页活动二任务2 如图15-ZH-4,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路程最短 图15-ZH-4 【模型建立】 运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决路程最短问题的基本思路. 【变式变形】 1.如图15-ZH-5,在四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (D) A.50° B.60° C.70° D.80° 图15-ZH-5 图15-ZH-6 2.如图15-ZH-6,P是∠AOB内的一点,OP=5,∠AOB=30°,M,N分别是射线OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值为 (A) A.5 B.6 C.8 D.10 3.已知:如图15-ZH-7①,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是边CD和BC上的点. 图15-ZH-7 求作:点M,N,使△AMN的周长最小. 作法:如图②. (1)延长AD,在AD的延长线上截取DA'=DA; (2)延长AB,在AB的延长线上截取BA″=BA; (3)连接A'A″,分别交CD,BC于点M,N. 则点M,N即为所求作的点. 请回答:这种作法的依据是 ①线段垂直平分线的定义; ②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(线段垂直平分线的性质); ③两点之间线段最短 . 4.如图15-ZH-8,l1表示草地的边界,l2表示小河的河岸.山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊,然后赶羊到小河l2饮水,之后再回到B处的家,假设山娃赶羊走的都是直路,请你为他设计一条最短的路线,并标明放羊与饮水的位置.[答案:略] 图15-ZH-8 5.先阅读材料,再解决问题. 材料:如图15-ZH-9①,如果选择适当的方向击打A球撞击B球,使B球碰撞台边ED后会直接入袋C,那么就要满足∠1=∠2. 图15-ZH-9 问题:如图②,四边形EFGH为长方形台球桌面,撞击白球A,白球A经桌边GH反弹后击中彩球B,在图中画出白球A的击球路线,并说明理由. 拓展训练 距离最短问题:利用轴对称和线段垂直平分线的性质,我们可以解决一些关于线 ... ...
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