22.2.4 一元二次方程根的判别式 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

22.2.4　一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a )，当b2－4ac>0时，方程 ；当b2－4ac＝0时，方程 ；当b2－4ac<0时，方程 ．因此b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程根的情况． 考点1　根据一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围 【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0（m为常数）. (1)若x＝－2是该方程的一个实数根，求m的值； (2)若该方程有两个实数根，求m的取值范围. 在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，(1)要根据方程根的情况判断b2－4ac与0的关系；(2)利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组）；(3)求解． 【变式训练】 1.（海南琼中县期中）关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k＞－1 B．k＜1 C．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0 考点2　应用根的判别式证明方程一定有实数根 【典例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0.求证：该方程总有两个实数根． 利用根的判别式证明一元二次方程有实数根，(1)找到判别式，并将判别式配方；(2)利用配方的结果判断根的判别式与0的大小关系；(3)得证. 【变式训练】 2.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. 求证：方程有两个不相等的实数根． 知识点1　一元二次方程根的判别式 1.对于一元二次方程x2－x＋2＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是( ) A.－2 B．2 C．－1 D．1 2.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的判别式Δ 0（填“>”“＝”或“<”）. 知识点2　用判别式直接判断方程根的情况 3.（上海中考）下列方程中，没有实数根的是( ) A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0 4.（海南海口龙华区校级期中）一元二次方程2x2－3x＝1的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5.已知一元二次方程x2＋bx－2＝0. (1)当b＝1时，求方程的根； (2)若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由． 知识点3　用判别式求字母的值或取值范围 6.（山东聊城中考）若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是( ) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 7.已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m＝时，求方程的根． 易错易混点　忽略二次项系数不能为0 8.（江苏徐州中考）若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 9.（河南漯河临颍县期末）在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，则关于x的方程x2－x＋k＝0根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10.（四川广安中考）已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 11.（四川内江中考）对于实数a、b定义运算“?”为a?b＝b2－ab，例如：3?2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)?x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 12.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的最大整数值是 ． 13.（甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)的值为 ． 14.（海南临高县期中）当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0. (1)有两个不等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)无实数根？ 15.（推理能力）已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边a＝6 ... ...