23.3.4 相似三角形的应用 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

23.3.4　相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度时，通常利用“相似三角形对应边　成比例�———�的原理来解决；在同一时刻、同一地点，太阳光下不同物体物高的比与影长的比相等，即物1高∶物2高＝影1长∶影2长． 2.测量河宽、管状物体的口径等问题时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边　成比例　来解决． 考点1　利用影长测量物体的高 【典例1】小明想要利用所学知识测量教学楼AB的高度．如图，小明竖直站在教学楼的影子末端C点处，此时小明测量出自己的身高CD＝1.7 m，影子的长度CE＝2 m，以及小明站的位置到教学楼的距离BC＝30 m，求教学楼AB的高度． 解：由题意可得：CD＝1.7 m，CE＝2 m，BC＝30 m，△ABC∽△DCE，∴＝，即＝，解得AB＝25.5 m， 答：教学楼AB的高度为25.5 m. 在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻两个物体、影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【变式训练】 1.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE的高度，他直立站在该塔的影子AE上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离CE＝36 m，已知小明的身高BC＝1.8 m，他的影长AC＝4 m，求古塔的高度． ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝，即＝， ∴DE＝18（米），∴古塔的高度为18米． 考点2　利用标杆或镜子测物体的高 【典例2】（江苏宿迁沭阳县校级模拟）如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米，EF＝2.4米，CF＝2米，FA＝16米，点C，F，A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出树AB的高度． 解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N， 则DN＝CF＝2米，AP＝DC＝1.6米， DP＝AC＝CF＋AF＝18（米），EN＝EF－CD＝2.4－1.6＝0.8（米）. 由题意，得∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∴△DEN∽△DBP， ∴＝， ∴＝，∴AB＝8.8（米）， 答：树AB的高度为8.8米． 因为一些物体的高度不方便直接测量，所以可以借助相似三角形的知识来解决问题，其基本方法是： (1)借助光线、标杆以及镜面构造相似三角形； (2)利用皮尺测量出一些较矮及地面上易测量的相关长度； (3)根据相似三角形的性质得对应边成比例，列比例式求出所求物体的高度． 【变式训练】 2.（海南文昌校级月考）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与小华的距离ED＝2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，则铁塔AB的高度是　15　米． 考点3　影子在斜面上时求物体的高度 【典例3】如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面(BC)上，另一部分落在斜坡(CD)上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？ 解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G. ∵CD＝4米，∠DCG＝45°， ∴DG＝CG＝4米． ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴＝，解得FG＝2DG＝8米， ∴BF＝10＋4＋8＝22（米）. ∵DG⊥BC，AB⊥BC， ∴△GDF∽△BAF， ∴＝，即＝， ∴AB＝11米． 答：旗杆的高度约为11米． 运用转化的方法得到旗杆在地面上的全部影长或旗杆的一部分在地面上的影长，从而能够根据“旗杆高：旗杆的影长＝竹竿高∶竹竿的影长”求出旗杆的高度． 【变式训练】 3.如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同时刻测量旗杆 ... ...