类型1 空间几何体的表面积和体积 1．主要考查空间几何体的表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题．对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养． 【例1】 (1)长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 (2)(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm．下列说法正确的是( ) A．该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2 B．该圆台的表面积为11π cm2 C．该圆台的体积为2π cm3 D．该圆台有内切球，且半径为 cm (3)如图，边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若tan ∠CDF＝，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于_____． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2 空间点、线、面的位置关系 1．空间中线、面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示． 2．通过线线、线面、面面平行及垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养． 【例2】 (1)(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的是( ) A．直线AF与直线DE相交 B．直线CN与直线DE平行 C．直线BM与直线DE是异面直线 D．直线CN与直线BM所成的角为60° (2)如图，矩形ABCD所在平面与所在平面垂直，M是上异于C，D的点． ①证明：平面AMD⊥平面BMC； ②若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型3 空间角的计算 1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角． 2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养． 【例3】 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成的角的大小； (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值； (3)二面角B-AO-C的大小． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型4 空间距离的计算 1．我们已学习过的空间距离主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解． 2．通过三种距离间的转化，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例4】 如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图②)． (1)求点B到平面ADE的距离； (2)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 章末重构拓展 例1 (1)A (2)AB (3)6π [(1)如图，VE-BCD ×120＝10． 故选A． (2)对于A，由CD＝2AB＝2AD＝2BC＝4 cm，可得高O1O2＝， 则圆台轴截面ABCD的面积为×(2＋4)× cm2，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为S侧＝π·(1＋2)×2＝6π(cm2)， 又S上＝π·12＝π(cm2)，S下＝π·22＝4π(cm2)， 所以S表＝6π＋π＋4π＝11π(cm2)，故B正确； 对于C，圆台的体积为V＝π·×(1＋4＋2)＝π(cm3)，故C错误； 对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆， 由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误．故选AB． (3)在Rt△DCF中DC＝2，CF＝DC tan ∠CDF ... ...
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