22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 素养目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上,探索出一元二次方程根与系数的关系. 2.掌握一元二次方程根与系数的关系的初步应用. 3.通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养观察分析、总结归纳的能力. 重点 根与系数的关系及其推导. 【预习导学】 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 阅读课本本课时“试一试”中的所有内容,回答下列问题. 1.回顾:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac　 　0,方程的两根分别为x1=　 　,x2=　 　. 2.一元二次方程x2+3x-4=0的两个根分别为x1=　 　,x2=　 　,于是我们可得x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.观察一元二次方程x2+3x-4=0可知,二次项的系数是　 　,一次项的系数是　 　,常数项是　 　. 3.结合“2”中的探究,关于“根”与“系数”之间的关系,我们可以提出如下猜想: 二次项系数为1的一元二次方程的两根之和(x1+x2)等于一次项系数的　 　,两根之积(x1·x2)等于　 　. 阅读课本本课时“探索”“概括”中的所有内容,填空. 1.关于一元二次方程x2+px+q=0,当p2-4q　 　0,由一元二次方程的求根公式:x1=　 　,x2=　 　. 2.计算:x1+x2=　 　+　 　=　 　,x1·x2=　 　=　 　,即x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 归纳总结　二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系:设x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 知识点二 一元二次方程的根与系数关系的应用 阅读课本本课时“例8”中的所有内容,填空. 1.观察方程x2+3x-5=0,可知二次项系数是　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有 x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 2.观察方程2x2-3x-5=0, (1)它的二次项系数是　 　. (2)能直接利用上面的“根与系数的关系”的结论求此一元二次方程的根吗 (3)你能把此方程的二次项系数化为1吗 应该怎么做 (4)将此方程的二次项系数化为1后的方程为　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 阅读课本本课时“例9”中的所有内容,填空. 1.观察方程ax2+bx+c=0(a≠0),它的二次项系数是　 　. 2.能直接利用上面的“根与系数的关系”的结论求此方程的根吗 3.你能把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项系数化为1吗 4.二次项的系数化为1后的方程为　 　,一次项的系数是　 　,常数项是　 　,由一元二次方程的根与系数的关系有x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 5.利用以上结论,我们可以直接写出“例8”的第(2)题的答案:方程2x2-3x-5=0的二次项系数是　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　, 所以x1+x2=　 　=　 　,x1·x2=　 　=　 　. 归纳总结　一元二次方程的根与系数的关系:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2,则x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 对点自测 根据所学知识,填表: 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2+2x-8=0 x2+3x+2=0 x2-x+=0 【合作探究】 任务驱动一 一元二次方程的根与系数的关系 1.若a、b是一元二次方程x2+5x-6=0的两个根,则a+b-ab等于 ( ) A.-11 B.-1 C.1 D.11 变式演练　一元二次方程x2+5x-6=0的两根之和为　 　,两根之积为　 　. 2.若方程x2+bx+3=0的一个根为1,则另一个根为　 　,b的值为　 　. 方法归纳交流　若x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 任务驱动二 一元二次方程的根与系数关系的应用 3.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x(x+3)=8;(2)3x2-1=7x. 方法归纳交流　若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=　 　,x1·x2=　 　. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.≥　　 2.1　-4　-3　-4　1　3　-4 3.相反数　常数项 1.≥　　 2.　　-p　×　q　-p　q 归纳总结　-p　q 知识点二 1 ... ...