2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件（20页） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第二章 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集. 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用. 3.理解一元二次方程根与系数的关系. 利用十字相乘法分解因式： (1)x2－(2a＋3)x＋6a＝_____； (2)6x2－x－1＝_____. (x－2a)(x－3) (2x－1)(3x＋1) 写出下列方程的解集： (1)x2－(2a＋3)x＋6a＝0； (2)6x2－x－1＝0. 当a＝32时，解集为{3}；当a≠32时，解集为{????2，3} ? 解集为{12，?13} ? 那x2+3x-1=0的解集呢？ 形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 问题1：从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如前面的方程x2+3x-1=0就是这种情形，此时该怎么办呢？ 问题2：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明． 一般地，方程x2＝t： （1）当t＞0时，解集为_____； （2）当t＝0时，解集为_____； （3）当t＜0时，解集为_____． {0} ? 问题3：形如(x－k)2＝t(其中k，t是常数)的一元二次方程的解集如何得到？ 结论：对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x－k)2＝t的形式，就可得到方程的解集． 一般地，方程(x－k)2＝t： （1）当t＞0时，解集为 ； （2）当t＝0时，解集为{k}； （3）当t＜0时，解集为?． 问题4：怎样将x2－8x－20＝0化为(x－k)2＝t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集． 解：x2－8x－20＝x2－8x＋16－36＝(x－4)2－36， 因此x2－8x－20＝0可化为(x－4)2＝36， ∴x＝2或x＝10， 从而可知解集为{2，10}. 利用配方法，总是可以将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化为(x－k)2＝t的形式，过程如下： 因为a≠0，所以 ， 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式. 由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定． 因此，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）可以化为 ， 从而可知，Δ＝b2－4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况： （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为 （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为 （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为?． 例1 判断下列关于x的方程的根的情况，如果方程有实数根，写出方程的实数根. ①x2－3x＋3＝0；②x2－6x＋9＝0；③x2－ax－1＝0. 解：①因为该方程的根的判别式Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0， 所以方程没有实数根. ②因为该方程的根的判别式Δ＝(－6)2－36＝0， 所以方程有两个相等的实数根，即x＝3. ③因为该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4>0， 所以方程有两个不相等的实数根，x1=????+????2+42，x2=?????????2+42. ? 归纳总结 (1)一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系. (2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这一隐含条件，否则容易出错. 问题5：当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗? 由x1=?????+????2?4????????2????，x2=??????????2?4????????2????知， x1+x2=?????+????2?4????????2????+??????????2?4????????2????=-????????，x1x2=?????+????2?4????????2????×??????????2?4????????2????=????????. ? 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2= ?????????，x1x2=????????. ? (1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0. (2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形: ①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; ②????2????1+????1 ... ...