2.2.1不等式及其性质 课件（2份打包） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学必修第一册

(课件网) 2.2.1 课时1 不等式及其性质 第二章 1.掌握不等式的性质及2个推论. 2.会用作差法、综合法证明不等式. 用数学符号表示下列语句： (1)某路段限速40 km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 问题1：怎样理解两个实数之间的大小呢？ 实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x). 如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b＞1＞0＞a. 此外，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了. a－b＜0 a＜b；a－b＝0 a＝b；a－b＞0 a＞b. 问题2：初中学过的不等式有哪些性质呢？ 性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c． 性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc. 性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 性质5 a＞b a＜b. 利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及性质1、2、4的证明. a＞b 点A'和B'的相对位置保持不变 证明：性质1：因为(a＋c)－(b＋c)＝a＋c－b－c＝a－b， 又因为a＞b，所以a－b＞0，从而(a＋c)－(b＋c)＞0， 因此a＋c＞b＋c． 利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及性质1、2、4的证明. 性质2：因为ac－bc＝(a－b)c， 又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此(a－b)c＞0， 因此ac－bc＞0，即ac＞bc． 性质4：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)， 又因为a＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 因此(a－b)＋(b－c)＞0， 从而a－c＞0，即a＞c． 通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法． 不等式的传递性 试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （1）a＞b是a＋c＞b＋c的_____条件； （2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的_____条件； （3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的_____条件． 充要 充要 充要 例1 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 解：∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∴当a=b时，a-b=0，a3+b3=a2b+ab2; 当a≠b时，(a-b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2. 综上所述，a3+b3≥a2b+ab2. 归纳总结 作差法比较大小的四个步骤 方法二（作差）：a－(c－b)=(a＋b)－c， 例2 求证： （1）如果a＋b＞c，那么a＞c－b． （2）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 证：（1）方法一：根据性质1有a＋b＞c a＋b＋(－b)＞c＋(－b) a＞c－b． 因为a＋b＞c，所以(a＋b)－c＞0， 从而a－(c－b)＞0，即a＞c－b. 推论1 移项法则 根据性质4有a＋c＞b＋d. （2）方法一：根据性质1有a＞b a＋c＞b＋c，c＞d c＋b＞d＋b， 方法二（作差）：因为(a＋c)－(b＋d)=(a－b)＋(c－d)， 因为a＞b，c＞d，所以a－b＞0，c－d＞0， 推论2 同向相加 所以(a－b)＋(c－d)＞0， 从而(a＋c)－(b＋d)＞0，即a＋c＞b＋d. 例2 求证 ... ...