15.3.2 等边三角形 第 1课时 等边三角形的性质和判定 夯实基础 知识点1 等边三角形的性质 1.如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在边 AC上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 2.如图,△ABC 为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点 R,PS⊥AC于点 S,PR=PS,则下列四个结论:①AP 平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的是 ( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 3.如图，直线 ，将等边三角形按如图所示放置.若∠α=40°,则∠β的度数是 . 4.如图,AD是等边三角形ABC 的中线,AE=AD,则∠EDC 的度数是 . 5.如图,△ABC 是等边三角形,△BCD 是等腰直角三角形,BC=CD,求∠ADB 的度数. 知识点2 等边三角形的判定 6.下列命题中是假命题的是 ( ) A.有一个角是60°的三角形是等边三角形 B.有两个角是60°的三角形是等边三角形 C.三个角都相等的三角形是等边三角形 D.三边相等的三角形是等边三角形 7.△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足 |b-c|=0,则△ABC的形状为 ( ) A.三边互不相等的三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 8.如图,已知OA=5,点 P 是射线 ON 上 的 一 个 动点,∠AON=60°.当OP= 时，△AOP 为等边三角形. 9.如图,在△ABC中,点D 是边AB上一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC 是等边三角形. B能力提升 9.如图，BD 是等边三角形ABC的边AC上的高，以点 D 为圆心，DB长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC 的度数是 ( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 11.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点 C 从点 O 出发，沿射线OB 移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则∠OBD= . 12.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=3c m,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是 cm. 13.如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在边CB,CA上,且 CD=CE,AF∥BC,AF 与 DE 的延长线交于点 F. (1)求证:△AEF 是等边三角形. (2)连接CF,交BE的延长线于点 G,求∠BGF的度数. 思维拓展 14.核心素养·推理能力如图,在△ABC中,AB=AC,点D 为△ABC内一点,AE∥CD,交 BD 的延长线于点E,∠E=60°,∠ABE=∠BCD. (1)求证:△ABC为等边三角形. (2)探究 AE,CD 与 BE 之间的数量关系,并证明. 第 2课时 含30°角的直角三角形 夯实基础 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 1.(2025·福州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE 平分∠BAC.若CE=2,则 BC 的长为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图.其中AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线.若∠ABC=150°,BC=10m,则乘电梯从点B到点 C上升的高度 h是( ) A.3m B.4m C.5m D.6m 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是中线,且AD=3cm,则AB的长是 cm. 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,边AC的垂直平分线分别交AC,BC 于 E,D 两点.试写出线段 BD 和DC 的数量关系，并给出证明. 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面6m 处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 ( ) A.6m B.9m C.12 m D.18m 6.图1 所示为某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时(如图2所示)，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ( ) A.37 cm B.54 cm C.64 cm D.74 cm 7.小亮参加了班级旗帜设计，他设计了形状如图所示的彩旗,图中∠ACB=90°,∠D =15°,点A在 CD 上,AD=AB,BC=15 cm,则AD的长为 cm. 某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，便设计了一种测量方案：如图，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取B，C两点，用测角仪 ... ...
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