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课件网) 4.3 线段的长短 第4章 直线与角 第2课时 线段的中点 情境导入 如何找到一条绳子的中点呢？ 线段AB上有一点C，且点C到点A，B的距离相等，那么点C是线段AB的什么点呢？ C B A 思考 问题：描述一下线段中点的概念呢？(对照图形) 点 C在线段 AB 上,且AC=BC，像这样把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点. 因为 C 是线段 AB 的中点， 所以 AC = CB = AB ， （或 AB = 2AC = 2CB）. 中点定义 数学语言： 注意:（1）线段的中点一定在直线上，并且只有一个. （2）若点C是线段AB的中点，则AC=CB；但反过来，若AC=CB , 点C不一定是AB的中点，如图所示. 知识拓展: 线段的三等分点：如图，若点C，D将线段AB分成相等的三条线段AC，CD，DB，则点C，D叫作线段AB的三等分点，这时AC=CD=DB= AB（类似地，还有四等分点、五等分点等）. 解：如图， 因为AB=4，点D为AB的中点，所以AD= AB=2. 又因为AC=11，点E为AC中点，所以AE= AC =5.5. 所以DE=AE-AD =5.5-2 =3.5. 例1 已知线段AB=4，延长AB至点C，使AC=11.点D是AB的中点，点E是AC的中点，求DE的长. A C D B E 变式 如图，在直线上有 A，B，C 三点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果 O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度. 解：因为 AB＝4 cm，BC＝3 cm， 所以 AC＝AB＋BC＝7 cm. 因为点 O 是线段 AC 的中点， 所以 OC＝ AC＝3.5 cm. 所以 OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm). (1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解． 计算线段长度的一般方法： (2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段． 归纳总结 例2 如图，B、C 两点把线段 AD 分成 2 : 3 : 4 的三部分，点 E 是线段 AD 的中点，EC＝2 cm，求： (1) AD 的长； (2) AB : BE. 解：(1) 设 AB＝2x，则 BC＝3x，CD＝4x， 由线段的和差，得 AD＝AB＋BC＋CD＝9x. 由 E 为 AD 的中点，得 ED＝ AD＝ x. 由线段的和差，得 CE＝DE－CD＝ x－4x＝ ＝2. 解得 x＝4. ∴ AD＝9x＝36 (cm). （2）AB : BE. 解：AB＝2x＝8 cm，BC＝3x＝12 cm. 由线段的和差， 得 BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）. 所以 AB : BE＝8 : 10＝4 : 5. 方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答. 变式：如果线段 AB＝6，点 C 在直线 AB 上，BC＝4，D 是 AC 的中点，那么 A、D 两点间的距离是（ ） A. 5 B. 2.5 C. 5 或 2.5 D. 5 或 1 【解析】本题有两种情形： （1）当点 C 在线段 AB 上时，如图： 所以 AC＝AB－BC＝6－4＝2. 因为 D 是 AC 的中点， 所以 AD＝1. （2）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图： 所以 AC＝AB＋BC＝6＋4＝10， 因为 D 是 AC 的中点， 所以 AD＝5.故选D. 方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解. 合作探究 A B 如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线. 发现：两点之间的所有连线中，线段最短 两点之间线段最短 思考：2. 如图，人们修建公路遇到大山阻隔时，常会打一条隧道直穿过去，为什么？ 因为修隧道可以缩短两地之间的路程， 实现路途近的目的。 线段有如下的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短. 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离. 这5条线中， 线段AB最短. 线段AB的长度就是A，B两点之间的距离. A B 注意: （1）两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB; （2） ... ...
