24.1.4 第1课时 圆周角定理 素养目标 1.知道圆周角的概念,能分清圆周角和圆心角. 2.能说出圆周角定理及其推论,并会熟练地运用它们解决问题. ◎重点:圆周角定理及其推论以及它们的应用. 【预习导学】 知识点一：圆周角的概念 认真阅读课本本课时第一自然段,解决下面的问题. 揭示概念:顶点在 ,并且两边都与圆 ,这样的角叫作圆周角. 归纳总结 圆心角的顶点在 ,圆周角的顶点在 .一条弧所对的圆心角有 个,一条弧所对的圆周角有 个. 知识点二：圆周角定理 认真阅读课本本课时的第二自然段到“例4”,认识推出符号“ ”,解决下面的问题. 1.圆周角与圆心的位置有以下几种关系,试测量各图中∠BOC与∠BAC的关系. 圆心在角的一边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 通过测量,可得∠BAC= 2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=∠BOC. 3.如图,当圆心O在∠BAC外部时,请说明∠A=∠BOC. 归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 推论:同弧或等弧所对的圆周角 .半圆(或直径)所对的圆周角是 , 的圆周角所对的弦是直径. 【合作探究】 任务驱动一：圆周角定理、推论的理解 1.(1)如图,在☉O中,=,则∠MDN与∠ACB的大小关系是 . (2)直径所对的圆周角是多少度 请说明理由. (3)90°的圆周角所对的弦是直径吗 请说明理由. 温馨提示 求解有关圆周角(或圆心角)问题的方法:找出或构造出同弧所对的圆心角(或圆周角),根据 定理进行求解. 变式演练 如图,BC为☉O的直径,AD⊥BC于点D,P是劣弧AC上一动点,连接PB分别交AD,AC于点E,F. (1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证明你的结论. 任务驱动二：圆周角定理、推论的应用 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求☉O的直径. 变式演练 如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系 为什么 方法归纳交流 一般地,如果题目中有直径出现时,常作辅助线得到直径所对的圆周角——— .当圆中要证明垂直或得到90°的角时,常作出 . 参考答案 【预习导学】 知识点一 揭示概念: 圆上 相交 归纳总结 圆心 圆上 一 无数 知识点二 1.∠BOC 2.解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4. ∵∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4, ∴∠1=2∠3,∠2=2∠4, ∴∠BOC=∠1+∠2=2∠3+2∠4 =2(∠3+∠4)=2∠BAC, 即∠BAC=∠BOC. 3.解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠1,∠C=∠OAC. ∵∠COD=∠OAC+∠C,∠2=∠1+∠B, ∴∠COD=2∠OAC,∠2=2∠1, ∴∠BOC=∠COD-∠2=2∠OAC-2∠1=2(∠OAC-∠1)=2∠BAC, 即∠BAC=∠BOC. 归纳总结 一半 相等 直角 90° 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周角所对的弦是直径. 温馨提示 圆周角 变式演练 解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE. (2)当点P在使=的位置时,有AF=EF. 证明:∵=,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD, ∴∠FAE=∠AEF,AF=EF. 任务驱动二 2.解:方法一:如图1,连接OA,OB. ∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°. ∵OA=OB, ∴△AOB是等边三角形, ∴OA=AB=3 cm,即圆的直径为6 cm. 方法二:如图2,连接AO并延长交☉O于点D,连接BD. ∵AD是直径, ∴∠ABD=90°. ∵∠D=∠C=30°, ∴AD=2AB=6 cm. 变式演练 解:BD=CD. 理由:如图,连接AD,∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又∵AC=AB,∴BD=CD. 方法归纳交流 直角 直径 ... ...
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