2.4.1圆的标准方程 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 求圆的方程的常用方法 （1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. （2）待定系数法：若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程，求出，，的值； 常用结论 1.几种特殊位置的圆的标准方程 特殊位置 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 已知点,,以线段为直径的圆的方程为. 注意：在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质. 微专题训练 一、单选题 1．已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 3．曲线的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为. 4．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 5．直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（ ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据面积公式分析可知当且仅当时，面积取到最大值，再结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为面积， 当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立， 此时圆心到线的距离，所以. 故选：C. 6．已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A．0 B．±1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为. 故选：D 8．由曲线围成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性，确定，时的面积即可求解. 【详解】解：当，时，可得， ，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆， ∴ 故围成的图形的面积为： 故选：A 二、多选题 9．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值. 【详解】由题意知：，， 且圆心坐标为，半径为1， 因为圆心到直线的距离． 所以的最大值，故A错误，B正确； 的最小值，故C正确，D错误； 故选：BC. 10．已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为 ... ...
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