1.4.1 充分条件与必要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. ◆ 知识点 充分条件与必要条件 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p q p q 条件 关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理 关系 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件; 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2=y2”是“x=y”的充分条件. ( ) (2)“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件. ( ) (3)“b=0”是“ab=0”的必要条件. ( ) (4)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件. ( ) ◆ 探究点一 充分条件、必要条件的判断 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件 (1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12; (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0; (3)在△ABC中,若A+B=90°,则C=90°. 例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件 (1)p:x=1,q:x-1=; (2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5; (3)p:a是自然数,q:a是正整数; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形. 变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件 哪些p是q的必要条件 (1)p:A∩B=A,q:A B. (2)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等. [素养小结] 充分条件、必要条件的几种判定方法: (1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题. (2)集合法:根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题. ◆ 探究点二 充分条件、必要条件的应用 例3 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围. 变式 (1)[2025·济南一中高一月考] 已知p:-4
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