1.5.1 全称量词与存在量词 【学习目标】 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. ◆ 知识点一 全称量词与全称量词命题 1.全称量词的定义与表示:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“ ———表示. 常见的全称量词有:所有的、任意一个、每一个、全部. 2.全称量词命题的定义及表示:含有 的命题叫作全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x). ◆ 知识点二 存在量词与存在量词命题 1.存在量词的定义与表示:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“ ———表示. 常见的存在量词有:存在一个、至少有一个、有一个、有些. 2.存在量词命题的定义及表示:含有 的命题叫作存在量词命题. “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对每一个无理数x,x2也是无理数”是全称量词命题,也是真命题. ( ) (2)“至少存在一个x∈Z,x能被2和3整除”是存在量词命题且是真命题. ( ) (3)“任给x∈Z,2x+1为奇数”是全称量词命题且是真命题. ( ) (4)“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是存在量词命题且是假命题. ( ) ◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有些实数没有倒数; (3)三个连续整数的乘积是6的倍数; (4)存在一个二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点. 变式 将下列命题用“ ”或“ ”表示. (1)实数的平方是非负数; (2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根; (3)设A,B为两个集合,满足A B; (4)有些自然数,它的算术平方根是自然数. [素养小结] (1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等全称量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等存在量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. ◆ 探究点二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例2 判断下列全称量词命题的真假. (1)所有的素数都是奇数. (2) x∈R,x2+1>. (3)任何一个三角形都有一个外接圆. 变式 判断下列存在量词命题的真假. (1)有的集合中不含有任何元素. (2)有的平行四边形的四个角都相等. (3)存在一个实数x,使x2+2x+4=0. (4)有些整数只有两个正因数. [素养小结] 判断全称量词命题和存在量词命题的真假时,一定要结合生活中的实例,运用相关的数学知识进行判断.有些命题没有直接给出量词,需要自己“破译”,找出其中隐含的量词,判断其是全称量词命题还是存在量词命题,进而再判断其真假. ◆ 探究点三 利用全称量词命题与存在量词命题求参数的范围 例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围; (2)若q: x∈A,x∈B是真命题,求m的取值范围. 变式 若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤4 B.a<4 C.a<-4 D.a≥-4 [素养小结] 根据全称量词命题与存在量词命题的真假等价转化为关于集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 拓展 (多选题)已知a>0,函数y=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程2ax+b=0,当x=m时,y=ax2+bx+c的函数值记为M,则下列选项中的命题为真命题的是 ( ) A. x∈R,ax2+bx+c≤M B. x∈R,ax2+bx+c≥M C. x∈R,ax2+bx+c≤M D. x∈R,ax2+bx+c≥M 1.5.1 全称量词与存在量词 1.B [解析] 对于A,含有存在量词“有些”,为存在量词命 ... ...
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