(
课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新” 打通应考之“脉” 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 学习任务 1．理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．(数学抽象) 2．会求直线与平面的夹角．(数学运算) 赛艇是一项通过桨和桨架进行简单杠杆作用使舟艇前进的划水运动．划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容． 必备知识·情境导学探新知 知识点1 直线与平面所成的角 知识点2 最小角定理 思考 1．平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？ [提示] 是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的． 知识点3 用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝_____或θ＝_____，特别地cos θ＝_____或sin θ＝_____． 思考 2．直线l的方向向量v与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ －〈v，n〉 [提示] 不是．直线和平面的夹角为. 〈v，n〉－ sin 〈v，n〉 |cos 〈v，n〉| 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． ( ) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． ( ) (3)斜线与平面的夹角为. ( ) × √ × [提示] (1)× 角的度数还可以是零度． (2)√ 根据斜线与平面所成的角的定义知正确． (3)× 斜线与平面的夹角为. 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 √ C [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又因为0°≤θ≤90°，所以θ＝30°.] 3．(教材P48练习B T2改编)若PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为_____． [设PC与平面PAB所成的角为θ，则PC在平面PAB内的射影在∠APB的平分线上，所以cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝.] 4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1，1)，则l与α所成角的正弦值为_____． [由题，设l与α所成角为θ，可得sin θ＝cos 〈n，a〉＝＝＝.] 类型1 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 【例1】 如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD. 关键能力·合作探究释疑难 [思路导引] 先找出A1A与平面ABCD所成的角θ1，再利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2得到A1A与平面ABCD所成角的余弦值，从而求得A1A cos θ1＝AO, 即点A1在平面ABCD内的射影为O点． [证明] ∵菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，∴AC为∠BAD的平分线，且AO＝a. 又∵∠A1AB＝∠A1AD， ∴A1A在平面ABCD内的射影在AC上，记∠A1AC＝θ1，则∠BAO＝30°， cos θ1＝＝＝， ∴A1A cos θ1＝a×＝a＝AO， 即点A1在平面ABCD上的射影为O点， ∴A1O⊥平面ABCD. 发现规律 常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分_____及其对顶角． ∠BOC [跟进训练] 1．如图所示，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． [解] 法一： 因为∠AOB＝∠AOC＝60°， 所以OA在平面α内的射影在∠BOC的平分线上， 作∠BOC的平分线OH交BC于点H，连接AH，OH， 又OB＝OC＝a，BC＝a， 所以∠BOC＝90°.故∠BOH＝45°， 由公式cos θ＝cos θ1 ... ...
