【学霸笔记：同步精讲】第二章 微专题3 圆锥曲线中的证明与探索性问题 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 1．证明问题 圆锥曲线证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素的位置关系，如某直线(曲线)过定点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些相关量相等或不等，某些量是定值等． 解决此类问题主要是依据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相应的性质应用、代数变形、数值运算等进行证明． 2．探索性问题 圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、概括等，是高考的常考题型，以解答题的形式出现，难度一般较大． 主要的命题角度有：①点的存在性；②曲线的存在性；③最值的存在性；④探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系． 常用的解题技巧：存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在． 类型1　证明问题 【例1】　已知抛物线C：y2＝4x，直线l交C于A，B两点． (1)若弦AB的中点是，求直线l的方程； (2)设A，若y1y2＝－12，求证：直线l过定点． [思路导引]　(1)判断在抛物线开口之内，且不在x轴上，直线l的斜率存在，设为k，且设，代入抛物线方程，作差后，结合中点坐标公式和直线的斜率公式可得k，再由点斜式方程可得所求直线方程． (2)讨论直线l的斜率不存在和存在，且斜率存在时分k＝0和k≠0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，结合根与系数的关系和直线恒过定点的求法，即可得证． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【例2】　已知椭圆C的方程为：＝1(a>b>0)，右焦点为F，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　探索性问题 【例3】　已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4，4)，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M(5，0)． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积； (3)设点Q在抛物线C上，试问直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【例4】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M． (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 3 / 3 ... ...