【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学习任务 1．了解空间点的位置向量与直线的方向向量．(数学抽象) 2．理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件，理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系．(数学抽象、逻辑推理) 3．理解公垂线段的概念并会求其长度．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 4．掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直，求夹角问题．(直观想象、逻辑推理) 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来． 那么，如何利用向量刻画直线的方向与位置？ 知识点1　空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量_____唯一确定，此时，通常称为点P的_____． 空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定． 知识点2　空间中的直线与空间向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l_____，则称v为直线l的一个_____．此时，也称向量v与直线l_____，记作_____． (1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个_____． (2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都_____； (3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在_____的实数λ，使得＝λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定； (4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2 _____． 知识点3　空间中两条直线所成的角 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝_____或θ＝_____，所以sin θ＝_____，cos θ＝_____． (2)〈v1，v2〉＝ _____ v1·v2＝___． 用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解． 知识点4　异面直线与空间向量 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为_____． (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，_____．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，_____，则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的_____． (1)“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (2)“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (3)空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为v＝(1，2，3)． (　　) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． (　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． (　　) 2．已知平面上两点A(1，2，3)，B(－1，1，1)，则下列向量是直线AB的方向向量的是(　　) A．(－1，1，1)　　　　 B．(1，2，3) C．(1，2，1) D．(2，1，2) 3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A．－ B． C．－ D． 4．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是_____. 类型1　空间中的点的位置的确定 【例1】　已 ... ...