1.2.3 直线与平面的夹角 学习任务 1．理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．(数学抽象) 2．会求直线与平面的夹角．(数学运算) 赛艇是一项通过桨和桨架进行简单杠杆作用使舟艇前进的划水运动．划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容． 知识点1 直线与平面所成的角 知识点2 最小角定理 1．平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？ _____ 知识点3 用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝_____或θ＝_____，特别地cos θ＝_____或sin θ＝_____． 2．直线l的方向向量v与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． ( ) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． ( ) (3)斜线与平面的夹角为. ( ) 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 3．(教材P48练习B T2改编)若PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为_____． 4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1，1)，则l与α所成角的正弦值为_____． 类型1公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 【例1】 如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD. [思路导引] 先找出A1A与平面ABCD所成的角θ1，再利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2得到A1A与平面ABCD所成角的余弦值，从而求得A1A cos θ1＝AO, 即点A1在平面ABCD内的射影为O点． [尝试解答]_____ _____ 常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分_____及其对顶角． [跟进训练] 1．如图所示，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． _____ 类型2用定义法求直线与平面所成角的问题 【例2】 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC所成角的正弦值． [思路导引] 用定义法求直线与平面所成角的步骤 [尝试解答]_____ _____ [母题探究] 1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为“D为PB上的一点，且BD＝PB”，试求AD与平面PAC所成角的正弦值． _____ 2．(变问法)若本例题(2)条件不变，求AD与平面PBC所成角的正弦值． _____ 作直线与平面夹角的一般方法 在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的____．其中关键是作平面的_____，此方法简称为“一作，二证，三_____”． [跟进训练] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为_____． 类型3 用向量法求直线与平面所成的角 【例3】 【链接教材P47例2】 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． [尝试解答]_____ _____ 用向量法求线面角的步骤 [跟进训练] 3．(源自北师大版教材例题)如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面边长为2，AA′＝，求直线AB′与侧面ACC′A′所成角的正弦值． _____ 1．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成的角为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 2．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D ... ...
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