【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.3 两条直线的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.2.3　两条直线的位置关系 学习任务 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(逻辑推理、数学运算) 3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(逻辑推理、数学运算) 过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱子支撑．为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 知识点1　两条直线的相交、平行与重合 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 ①l1与l2相交 _____． ②l1与l2平行 _____． ③l1与l2重合 _____． (2)向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即_____． ②l1与l2平行的充要条件是v1与v2共线，即_____． l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ，使得A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2． 1．直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是什么？重合的充要条件呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　两条直线的垂直 (1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2 _____． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 _____． 2．两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． (　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2． (　　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． (　　) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (　　) (5)若直线l1，l2的方程组成的方程组有解，则l1与l2一定相交． (　　) 2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　) A．1　　 B．－2　　 C．1或－2　　 D．－1或2 3．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．1 4．已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝_____． 类型1　两条直线相交、平行、重合的判定 【例1】　(源自人教A版教材例题)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0． [思路导引]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...