【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.3 直线与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3.3　直线与圆的位置关系 学习任务 1．理解直线与圆的三种位置关系．(直观想象) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(数学运算) “大漠孤烟直，长河落日圆．”这是唐代诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系是怎样的？结合初中知识，总结直线与圆有哪几种位置关系． 知识点1　直线与圆的位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _____个 _____个 _____个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离为d d_____r d_____r d_____r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ_____0 Δ_____0 Δ_____0 (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系． (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离． (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 知识点2　直线与圆相切的几个重要结论 1．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线． (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点． (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线． 2．切线方程的几个重要结论 (1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0． 3．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长 d＝． (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝． 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心　　　　 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　) A．相切　　　　　 B．相交 C．相离 D．随a的变化而变化 3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． D．无解 4．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为_____． 类型1　直线与圆位置关系的判定 【例1】　【链接教材P113例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判断直线与圆的位置关系常用的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr _____． (2)代数法： ... ...