【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.7 2.7.1 抛物线的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．7　抛物线及其方程 2．7.1　抛物线的标准方程 学习任务 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(数学抽象、直观想象) 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(逻辑推理、数学运算) 3．会求抛物线的标准方程．(数学运算) 在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮———迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防范．对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难，因此研究抛物线是很有必要的．这节课我们就要“走入”抛物线，看一看迫击炮的弹道曲线． 知识点1　抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离____的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的____，定直线l称为抛物线的____． 1．定义中为什么要求直线l不经过点F 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ x＝－ _____ x＝ _____ y＝－ _____ y＝ 2．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ _____ _____ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离． (　　) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定． (　　) (3)抛物线的方程都是二次函数． (　　) (4)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y． (　　) 2．到定点F(1，－1)的距离与到定直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是(　　) A．抛物线　　 B．椭圆 C．双曲线的一支 　 D．直线 3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是_____． 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6，6)； [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型． (2)求参数p的值． (3)确定抛物线的标准方程． 提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． [跟进训练] 1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程． _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　抛物线定义的应用 【例2】　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ [母题探究] 1．(变条件，变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标． _____ _____ _____ _____ _____ 2．(变条件，变问法)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． _____ _____ _____ _____ 　抛物线定义的应用 (1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟进训练] 2．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14 类型3　抛物线的实际应用 【例3】　苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图(1)所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图(2)是“东方之门”的示意图．已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的 ... ...