【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 学习任务 1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(逻辑推理) 2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(数学运算) 激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)．假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星，就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题． 知识点1　直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0． 方程特征 交点个数 位置关系 直线 与 椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线 与双 曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线 与抛 物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ _____ _____ _____ _____ 知识点2　圆锥曲线的弦及弦长公式 1．圆锥曲线的弦 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 2．求圆锥曲线的弦长 若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： (1)交点法：联立直线l与圆锥曲线C的方程，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长，即|AB|＝． (2)弦长公式法：若直线l的斜率k存在，则|AB|＝＝＝＝(k≠0)； 若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y2|＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x＝2与椭圆＋y2＝1相切． (　　) (2)一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2． (　　) (3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件． (　　) 2．直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相离 　 D．相切或相交 3．直线y＝x＋3与双曲线＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1　　 　 B．2 C．1或2　　 　 D．0 4．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　) A．　　B．　　C．2　　D．2 类型1　直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用 【例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [思路导引]　要研究直线与双曲线的公共点个数，通常需联立直线与双曲线的方程，并对方程组解的个数进行讨论． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　关于直线与圆锥曲线的交点个数判断 (1)代数法：直线与圆锥曲线的方程____、消元， ①如果得到的是一元二次方程，则利用_判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数； ②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线____，或直线与抛物线的_____平行(或重合)，此时直线与圆锥曲线有__个交点． (2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与_____的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数． 提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交． [跟进训练] 1．设双曲线Γ的方程为x2－＝1．设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程． _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　弦长问题及中点弦问题 【例2 ... ...