【学霸笔记：同步精讲】微专题强化练3 圆锥曲线中的证明与探索性问题 练习--2026版高中数学人教B版选必修1

微专题强化练(三)　圆锥曲线中的证明与探索性问题 说明：本试卷共64分 1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)过点A(－3，2)，且离心率e＝． (1)求该双曲线的标准方程； (2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值． 2．已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，短轴的一个端点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点P使得PF1⊥PF2？若存在求△PF1F2的面积，若不存在，请说明理由． 3．已知点A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为－． (1)求曲线C的方程； (2)若曲线C的右焦点为F，过M(4，0)的直线l与曲线C交于点D，E，求证：直线FD与直线FE的斜率之和为定值． 4．已知A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点N(2，3)能否作一条直线m与轨迹C交于P，Q两点，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，请说明理由． 1 / 1微专题强化练(三) 1．(1)解：由题意解得a2＝8，b2＝32，故双曲线的标准方程为＝1． (2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，设直线AB的方程为y－2＝k(x＋3)，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0， ∴－3＋x1＝，x1＝， y1＝， ∴B， 同理C， ∴kBC＝＝6为定值． 2．解：(1)椭圆的两焦点分别为(－1，0)和(1，0)，短轴的一个端点为(0，)， ∴c＝1，b＝，∴a＝＝2， ∴椭圆的标准方程为＝1． (2)假设椭圆上存在点P(x0，y0)，使得PF1⊥PF2， 则·＝(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝0，即＝1， 联立＝－8，此方程无解， ∴椭圆上不存在点P，使得PF1⊥PF2． 3．(1)解：设P(x，y)．因为kPA·kPB＝－， 所以(x≠±2)， 化简得＝1(x≠±2)． 又A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点， 所以曲线C的方程为＝1． (2)证明：当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋4，D(x1，y1)，E(x2，y2)． 联立得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0， Δ＝144(t2－4)>0，y1＋y2＝－， y1y2＝， 所以，即3(y1＋y2)＝－2ty1y2． 又F(1，0)，所以kFD＝，kFE＝， 所以kFD＋kFE＝ ＝＝0． 当直线l的斜率为0时，易知kFD＋kFE＝0． 综上，直线FD与直线FE的斜率之和为定值0． 4．解：(1)设M(x，y)，x≠±2，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，由kAM·kBM＝3，得·＝3， 整理得3x2－y2＝12(x≠±2)， 即轨迹C的方程为＝1(x≠±2)． (2)假设存在满足条件的直线m． 易知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 两式相减得 ＝0， 即． ∵N(2，3)是线段PQ的中点， ∴＝2，即k＝2， 故直线m的方程为2x－y－1＝0． 由得x2－4x＋13＝0，Δ＝－36<0，此时直线m与轨迹C不相交． 故假设不成立，即不能作出满足条件的直线． 1 / 1 ... ...