【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 学习任务 核心素养 1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养． 1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n． (1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？ (2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？ 2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？ 1．用向量研究平行与垂直 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 位置关系 向量语言 l∥m或l与m重合 ____ _____ l⊥n1 α∥β或α与β重合 _____ ____ l⊥m l⊥α _____ ____ n1⊥n2 (1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？ (2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？ _____ _____ _____ 2．立体几何中的几个定理 (1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条_____垂直，那么该直线与此平面____． (2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条_____与另一个平面平行，那么这两个平面____． (3)三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影____，则它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条____垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影____． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线a与平面α相交但不垂直，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行．　(　　) (2)已知直线a的方向向量为a，b，c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α． (　　) (3)若平面α，β的法向量平行，则α∥β． (　　) (4)若平面α，β的法向量不平行，则平面α与β相交． (　　) 2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15　 D．x＝6，y＝ 3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝_____． 类型1　空间中位置关系的判定 【例1】　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)； (3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)； (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)； (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两直线平行；否则这两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直． 3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． [跟进训练] 1．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝_____． 类型2　利用空间向量证明平行关系 【例2】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的 ... ...