【学霸笔记：同步精讲】第一章 §1 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习任务 核心素养 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点) 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．(难点、重点) 1．通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养． 1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？ 2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？ 3．如何刻画直线的方向？ 1．直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． 规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 范围：倾斜角α的取值范围为． 2．直线的斜率 (1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)． (2)直线的斜率表示直线的倾斜程度． 3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示． 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． (2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)． 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． 任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？ [提示]　直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是时，直线的斜率存在且唯一． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一直线都有方向向量，且不唯一． (　　) (2)若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率k＝． (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α． (　　) (4)当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为(　　) A．　　　　 B．　　 C．1　　　　 D． B　[由题意可知，直线l的斜率k＝tan 60°＝．] 3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是_____． －　[斜率k＝＝－．] 类型1　直线的倾斜角 【例1】　求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　　(2)　　　　　　　(3) [解]　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°． (1)　　　　　　(2)　　　　　　(3) (2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°， ∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°． (3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°． 　求直线的倾斜角的两点注意 (1)直线倾斜角的取值范围是． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为． [跟进训练] 1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°； ... ...