【学霸笔记：同步精讲】第一章 §2 2.4 圆与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

2.4　圆与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点) 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系．(重点、难点) 通过对圆与圆的位置关系的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养． 1．平面上，两圆有哪几种位置关系？ 2．能否用两圆的方程组成的方程组解的个数准确判定两圆的位置关系？ 1．平面内两个不等的圆之间的5种位置关系 (1)两个圆____公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的____，此时叫作这两个圆外离(如图(1))． (2)两个圆有_____公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的____，此时叫作这两个圆外切(如图(2))．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． (3)两个圆有____公共点，此时叫作这两个圆相交(如图(3))． (4)两个圆有____的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的____，此时叫作这两个圆内切(如图(4))．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． 两个圆____和____统称两个圆相切． (5)两个圆____公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的____，此时叫作这两个圆内含(图(5))． 　 (1)　　　　　　　　　　(2) 　　 (3)　　　　　　　(4)　　　　　　(5) 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 _____ _____ _____ _____ ___ _____ _____ _____ (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 将两个相交圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组有两组实数解，则两圆相交． (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和且大于两圆的半径之差，则两圆相交． (　　) (3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． (　　) 2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切　　　 B．相交　 C．外切　　　 D．相离 3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝_____． 4．以C(4，－3)为圆心且与圆O：x2＋y2＝1相切的圆C的方程为_____． 类型1　圆与圆的位置关系的判断 【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [思路点拨]　利用两圆的半径分别为r1、r2，与两圆的圆心距为d之间的关系求解． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值|r1－r2|，半径之和r1＋r2进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要运用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． [跟进训练] 1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有(　　) A．1条　 B．2条 C．3条 　 D．4条 类型2　两圆相切问题 【例2】　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为_____． (2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为_____． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切、外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半 ... ...