【学霸笔记：同步精讲】第六章 §3 3.2 离散型随机变量的方差 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

3.2　离散型随机变量的方差 学习任务 核心素养 1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求离散型随机变量的方差，培养数学运算素养． 我们已经知道可以利用随机变量的均值来刻画随机变量取值的集中趋势，那么如何刻画随机变量取值的波动大小呢？ 1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)方差DX＝． (2)标准差σX＝． 2．方差的性质 D(aX＋b)＝a2DX． (1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？ (2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？ [提示]　(1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的． (2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量的取值越稳定． (　　) (2)若X是常数，则DX＝0． (　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量与其期望的平均偏离程度． (　　) (4)若Y＝2X＋1，则DY＝4DX＋1． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则DX的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　 D． C　[由表格可求得，EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，EX2＝12×＋22×＋32×＋42×＝，∴DX＝＝．] 3．已知X的分布列为 X 0 1 2 P 设Y＝2X＋3，则DY＝_____． 　[由条件可知EX＝0×＋1×＋2×＝1， ∴DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，∴DY＝D(2X＋3)＝22×DX＝4×＝．] 4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝_____． 3．36　[由题知X＝6，9，12． P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝． ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴EX＝6×＋9×＋12×＝7.8， DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．] 类型1　求离散型随机变量的方差 【例1】　【链接教材P208例5】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差． [解]　由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝． 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75． 【教材原题·P208例5】 例5　随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01)． [解]　掷出点数X的分布列如表6－16： 表6－16 X 1 2 3 4 5 6 P EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5； DX＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2× ＝≈2.92； σX＝≈1.71． 　求离散型随机变量的方差的步骤 (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列． (4)利用公式EX＝xipi求出随机变量的期望EX． (5)代入公式DX＝(xi－EX)2pi，求出方差DX． [跟进训练] 1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差． [解]　乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2． P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝． 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P Eξ＝0×＋1×＋2×＝， Dξ＝＝． 类型2　方差的 ... ...