【学霸笔记：同步精讲】第三章 §1 1.2 空间两点间的距离公式 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

1.2　空间两点间的距离公式 学习任务 核心素养 1．会推导空间两点间的距离公式．(重点) 2．能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点) 1．通过推导空间两点间的距离公式，培养直观想象与逻辑推理素养． 2．借助对空间两点间的距离公式的应用，培养数学运算素养． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式是什么？怎样推导的？通过类比，你能否得到在空间直角坐标系中两点间的距离公式？ 空间两点间的距离公式 (1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点O之间的距离|OP|＝． (2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点间的距离|PQ|＝． 方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？ [提示]　以坐标原点为球心，1为半径的球面． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点P到x轴的距离为． (　　) (2)棱长为a，b，c的长方体的体对角线长为． (　　) (3)不等式x2＋y2＋z2≤1表示以坐标原点为球心，1为半径的球． (　　) ≥． (　　) [答案]　(1)√ 　(2)√　(3)√ 　(4)√ 2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体对角线长为6，且底面边长为4，则该正四棱柱的高为(　　) A．9　　　　 B．　　 C．4　　　　 D．2 D　[正四棱柱的高h＝＝2．] 3．空间两点P1(1，2，3)，P2(3，2，1) 之间的距离为_____． 2　[|P1P2|＝＝2．] 类型1　求空间中两点间的距离 【例1】　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． [解]　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝． 　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 [跟进训练] 1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC的三个顶点，求证：△ABC为直角三角形． [证明]　|AB|＝＝，|BC|＝＝， |AC|＝＝， ∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89，又|AB|2＝89， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形． 类型2　由距离公式求空间点的坐标 【例2】　【链接教材P96例3】 已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____． (0，0，6)　[由题意，设P(0，0，z)， 由|PA|＝|PB|，得＝，解得z＝6． ∴点P的坐标为(0，0，6)．] [母题探究] 1．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？ [解]　由题意，设P(0，y，0)，由|PA|＝|PB|， 得＝， 解得y＝－． ∴点P的坐标为． 2．求到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件． [解]　因为点P(x，y，z) 到A，B的距离相等， 所以＝． 化简得9x＋5y－4z＋24＝0， 因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是9x＋5y－4z＋24＝0． 【教材原题·P96例3】 例3　给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为． [解]　设点P的坐标是(x，0，0)，由题意，得|P0P|＝，即 ＝， 所以(x－4)2＝25． 解得x＝9或x＝－1． 所以点P的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)． 　1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例． 2．到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)构成的集合就是线段AB的中垂面，P是线段AB的中垂面与z轴的交点． 类型3　距离公式的应用 【例3】　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当 ... ...