【学霸笔记：同步精讲】第三章 §2 2.2 空间向量的运算(三) 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

2.2　空间向量的运算(三) 学习任务 核心素养 1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养． 平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？ 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直 1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？ [提示]　〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b． (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)数量积的性质 两个 向量 数量 积的 性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|． 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) |a·b|≤|a|·|b| 3．投影向量与投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|． (2)如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积． 2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？ [提示]　数量积运算不满足结合律． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量与的夹角和向量与的夹角互补． (　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． (　　) (3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件． (　　) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　　) A．－2　　　 B．－1　 C．±1　　　 D．2 [答案]　A 3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是　(　　) A．与 　 B．与 C．与 　 D．与 [答案]　A 4．已知非零向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则向量a的模为_____． 2　[由a与2b－a互相垂直得， a·(2b－a)＝0， 所以2a·b－a2＝0， 即2|a|·|b|·cos 45°－a2＝0， 所以2|a|－|a|2＝0， 解得|a|＝2或|a|＝0(舍去)．] 类型1　空间向量的数量积运算 【例1】　已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点． 求(1)；(2)． [解]　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0． (1)＝·()＝b·＝|b|2＝42＝16． (2)＝()·()＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0． [母题探究] 若本例的条件不变，计算． [解]　＝()·() ＝ ＝ ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2． 　求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键． 类型2　利用数量积求夹角 【例2】　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点， (1)求向量与所成角的余弦值； (2)求直线OE与BF所成角的 ... ...