第一章 空间向量与立体几何 要点1 共线、共面向量基本定理 1．共线向量基本定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线． 2．共面向量基本定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面． 要点2 空间向量的数量积的应用 (1)a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，此结论一般用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度． (3)cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题． (4)|b|cos 〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题． 要点3 空间向量在立体几何中的应用 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R 线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0 面面平行 α∥β u∥v u＝kv，k∈R 线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0 线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R 面面垂直 α⊥β u⊥v u·v＝0 线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝ 线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝ 面面夹角 α，β的夹角为θ，|cos θ|＝ 注意：(1)线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．(2)二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角． 第二章 直线和圆的方程 要点1 直线的方程 已知条件 方程 适用范围 点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线 斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距为b y＝kx＋b 两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) ＝ 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b ＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线 要点2 两条直线的位置关系 位置关系 方程形式 斜截式： y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 或＝≠(A2，B2，C2均不为0) 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0 要点3 平面上的距离公式 (1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝． (2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝． 要点4 圆的方程 1．圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为． 3．求圆的方程的方法 (1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程． (2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可． 要点5 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的判定方法 关系 相交 相切 相离 几何法 dr 代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式． 2．求弦长的方法 (1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2． (2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关 ... ...
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