【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.4 2.4.2 圆的一般方程 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

2.4.2　圆的一般方程 [学习目标]　 1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理) 探究1　圆的一般方程 问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0． 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_____叫做圆的一般方程，此时方程表示以_____为圆心，_____为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点_____ D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 [学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－x＝0； (4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　求圆的一般方程 [典例讲评]　【链接教材P86例4】 1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为_____． [母题探究]　若点M(x0，0)在过A，B，C三点的圆内，求x0的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． (2)根据条件列出关于D，E，F的方程组． (3)解出D，E，F，代回所设的圆的方程． [学以致用]　2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　与圆有关的轨迹问题 [典例讲评]　【链接教材P87例5】 2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...