【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

第2课时　椭圆的标准方程及其性质的应用 [学习目标]　 1．了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算) 2．进一步掌握椭圆方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理) 探究1　直线与椭圆的位置关系 问题　从椭圆C的一个焦点F1处发出的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆_____； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆_____； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆_____． [典例讲评]　【链接教材P114例7】 1．(源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． [学以致用]　1．直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 探究2　中点弦问题 [典例讲评]　2．在椭圆＝1(a＞b＞0)中，以点M为中点的弦所在的直线方程为(　　) A．3x＋4y＝0　　　　 B．3x－4y＝0 C．3x＋4y－12＝0 D．3x－4y＋12＝0 [母题探究]　本例中把条件改为点M是直线x＋2y－5＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，求该椭圆的离心率． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决中点弦问题，主要有两种办法，一种是根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；另一种是点差法：设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆的方程，两式相减即得弦的中点坐标与直线斜率的关系式． [学以致用]　2．椭圆＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则＝(　　) A．　　B．　　C．　　D．2 探究3　实际生活中的椭圆问题 [典例讲评]　【链接教材P113例5】 3．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D ... ...