【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.2 两点间的距离公式 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 2.3.2　两点间的距离公式 第二章 直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 [学习目标]　 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．两点间距离公式是如何推导的？ 问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？ 探究建构 关键能力达成 探究1　两点间的距离公式 问题　已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2| [提示]　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝． 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝． [新知生成] 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． [解]　(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝＝， |BC|＝＝2， |CA|＝＝5． 因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形． (2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2． 【教材原题·P73例3】 例3　已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． [解]　设所求点为P(x，0)，则 |PA|＝＝， |PB|＝＝． 由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．解得x＝1． 所以，所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2． 反思领悟　1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(k为直线P1P2的斜率)． 2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数． [学以致用]　【链接教材P74练习T2】 1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值． [解]　∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5， ∴＝5， 即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝． 所以a的值为－1或． 【教材原题·P74练习T2】已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，求a的值． [答案]　a＝±8． 探究2　坐标法的应用 [典例讲评]　【链接教材P73例4】 2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|． [证明]　如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝． 故|AC|＝|BD|． 【教材原题·P73例4】 例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． [分析]　首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． [证明]　如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)． 由两点间的距离公式，得 |AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝ ＝a2，|AD|2＝b2＋c2． 所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2． 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 反思领悟　1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的 ... ...