【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.2 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1课时　双曲线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象) 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．双曲线有哪些几何性质？ 问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？ 探究建构 关键能力达成 探究1　双曲线的几何性质 问题　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程回答下列问题： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． [提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域． (2)双曲线C关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称． (3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点． (4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，双曲线C无限接近y＝±2x． [新知生成] 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 范围 _____ _____ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：_____，_____ 顶点坐标：_____，_____ x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R A1(－a，0) A2(a，0) A1(0，－a) A2(0，a) 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 轴长 实轴长：____；虚轴长：____ 渐近线 y＝_____ y＝_____ 离心率 e＝___，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝_____(c>a>0，c>b>0) 2a 2b a2＋b2 2．等轴双曲线 实轴和虚轴____的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_____，离心率为_____． 等长 y＝±x 【教用·微提醒】　对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图． [解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4，c＝＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝． 为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线 并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支． 由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示． [母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝；c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)； 离心率e＝＝＝； 顶点坐标为(－，0)，(，0)； 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x． 反思领悟　由双曲线方程研究其几何性质的注 ... ...