4.4 数学归纳法 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过对数学归纳法定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理素养． 在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 你认为第二个条件的作用是什么？ 知识点 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： ①证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； ②假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当_____时命题也成立． 根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法． (2)数学归纳法的框图表示 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推． ( ) (2)用数学归纳法证明3nn2(n3，n∈N*)，第一步验证n＝3． ( ) (3)设Sk＝，则Sk＋1＝． ( ) 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，计算左边所得的项是( ) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( ) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) 类型1 用数学归纳法证明等式 【例1】 【链接教材P171例3】 (1)用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是( ) A．1 B．1＋q C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3 (2)用数学归纳法证明： (n∈N*)． [尝试解答] _____ _____ 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1时证明目标的表达式变形． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)． _____ _____ 类型2 归纳—猜想—证明 【例2】 【链接教材P173例4】 已知数列的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [跟进训练] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明． _____ 类型3 用数学归纳法证明不等式 【例3】 用数学归纳法证明1＋＋n(n∈N*)． [尝试解答] _____ _____ 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，再作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论． [跟进训练] 3．用数学归纳法证明不等式：1＋<(n∈N*)． _____ _____ 类型4 用数学归纳法解决平面几何问题 【例4】 【链接教材P174例5】 求证： ... ...
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