【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.4 两条直线的交点 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

1.4　两条直线的交点 学习任务 核心素养 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养． 中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程． 那么，把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？ 知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 ____ 直线l1，l2的公共点 一个 _____ 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (　　) 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1) 3．当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 类型1　两条直线的交点问题 【例1】　【链接教材P29例1】 判断下列直线l1与l2是否相交，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [跟进训练] 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．　　　 B．(－∞，2) C． D．∪(2，＋∞) 类型2　直线恒过定点问题 【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)． [跟进训练] 2．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是_____． 类型3　过两条直线交点的直线系方程应用 【例3】　【链接教材P30例3】 求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 1．已知一点与斜率，如何求直线的方程？ _____ 2．过两条直线2x－3y－1＝0与x＋y＋2＝0的交点的直线系方程是什么？ _____ [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 1．(变条件)本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？ _____2．(变条件)本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ _____ 　过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最 ... ...