【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.5.1 平面上两点间的距离 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 学习任务 核心素养 1．了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及其应用．(难点) 3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点) 通过对平面上两点间的距离公式、中点坐标公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． (1)如图所示，数轴上有两点x1＝－5，x2＝7，则两点间的距离x1x2是多少？ (2)如图所示，在直角三角形中，直角三角形斜边的长度是多少？ (3)如图所示，点O与点P间的距离OP是多少？ 那么对于平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离P1P2是多少？ 知识点1　两点间的距离 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (2)结论：P1P2＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b． (　　) (2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用． (　　) (3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当两点连线所在直线平行于坐标轴时，P1P2＝|x1－x2|． (　　) 2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于(　　) A．5 B． C． D．4 3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 知识点2　中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 4．已知A(1，3)，B(－5，1)，那么线段AB的中点坐标是_____． 类型1　两点间的距离 【例1】　【链接教材P34例1】 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路探究]　求出△ABC的三边长，根据边长间的关系判断三角形的形状． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则＝． (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [跟进训练] 1．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值． _____ _____ _____ 类型2　中点坐标公式及应用 【例2】　【链接教材P34例2】 △ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程． [尝试解答]　_____ _____ _____ 　求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． [跟进训练] 2．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 类型3　利用坐标法解决平面几何问题 【例3】　【链接教材P36例3】 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：AC＝BD． 如何证明AC＝BD [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 1．(变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC．求证：△ABC为等腰三角形． _____ _____ 2．(变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． _____ _____ 　利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤 (1)建立平面直角坐标系，尽可能地将有关元素放在坐标轴上． (2)用坐标表示有关的量． (3)将几何关系转化为坐标运算． (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　　) A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C．＝1 D．＝0 2．已知点M(－1，3)和点N(5，1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是_____． 3．若三角形的顶点分别为A(2，－3)，B(－2，－5)，C(6，4)，则AB边上的中线长为_____． 4．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的 ... ...