【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1.1 椭圆的标准方程 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养． 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 知识点1　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2． (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 知识点2　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) 与 a，b，c的关系 b2＝a2－c2 1．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 C　[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＝1．] 2．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_____． (－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0，得a＞3或－6＜a＜－2．] 类型1　求椭圆的标准方程 【例1】　【链接教材P83例1、例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)； (3)经过两点(2，－)，． [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＝1． (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝＝12，解得a＝6．又c＝2，所以b＝＝4． 所以椭圆的标准方程为＝1． 法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＝1． 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32． 所以椭圆的标准方程为＝1． (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1． 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 【教材原题·P83例1、例2】 例1　已知椭圆的两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． [解]　因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝10，即a＝5． 又因为椭圆的两个焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，所以c＝3，从而b2＝a2－c2＝52－32＝16． 因此，所求椭圆的标准方程为＝1． 例2　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，求椭圆的标准方程． 解法1：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 因为椭圆的 ... ...