【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2.2 双曲线的几何性质 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

3.2.2　双曲线的几何性质 学习任务 核心素养 了解双曲线的简单几何性质．(重点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养． 凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性． 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？ 知识点1　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 _____ _____ 对称性 对称轴：_____，对称中心：____ 顶点 _____，_____ _____，_____ 轴长 实轴长＝__，虚轴长＝__ 离心率 _____ 渐近线 y＝±x _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线＝1的焦点在y轴上． (　　) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． (　　) (3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条． (　　) 2．双曲线＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝_____． 知识点2　等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：在双曲线的标准方程＝1中，如果a＝b，那么方程可化为_____，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直． 3．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 知识点3　直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0． Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时 相交 只有____交点 k≠±且Δ＞0 有____交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点 k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点 类型1　根据双曲线方程研究几何性质 【例1】　【链接教材P105例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 1．(变条件)把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？ _____ 2．(变条件)把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？ _____ 　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？ _____ 类型2　由几何性质求双曲线的标准方程 【例2】　【链接教材P106例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)． [尝试解答]　_____ _____ 　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)．如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为＝1(b2＜λ＜a2)． [跟进训练] 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x． _____ _____ 类型3　求双曲线的离心率 【例3】　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为_____． (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲 ... ...