【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.3 简单复合函数的导数 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第5章　导数及其应用 5.2.1　基本初等函数的导数 5.2.3　简单复合函数的导数 5.2　导数的运算 学习任务 核心素养 1．了解复合函数的概念．(易混点) 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点) 1．通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养． 海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2． 油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1． 思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____． y＝f (g(x)) 思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 知识点2　复合函数的求导法则 对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_____． 特别地，若y＝f (u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_____． y′u·u′x y′u·a 体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin (πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　) (2)f (x)＝ln (3x－1)，则f ′(x)＝． (　　) (3)f (x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x． (　　) [提示]　(2)中f ′(x)＝．(3)中，f ′(x)＝2x cos 2x－2x2sin 2x． × × √ 体验2．函数y＝的导数是(　　) A． B． C．－ D．－ C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－．] √ 体验3．下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 √ D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝ 22xln 2．故D正确．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　复合函数的导数 【例1】　【链接教材P207例4】 求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝． [解]　(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1． (2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4 ＝－6(2x－1)-4＝－． (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝． (4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝＝ ＝． 【教材原题·P207例4】 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－3)3；(2)y＝ln (5x＋1)． [解]　(1)y＝(2x－3)3可由y＝u3及u＝2x－3复合而成，所以y′x＝y′u×2＝(u3)′×2＝3u2×2＝6u2＝6(2x－3)2． (2)y＝ln (5x＋1)可由y＝ln u及u＝5x＋1复合而成，所以y′x＝y′u×5＝(ln u)′×5＝×5＝． 反思领悟　1．解答此类问题常犯的两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝103x-2；(2)y＝ln (ex＋x2)； (3)y＝x． [解]　(1)令u ... ...