类型1 求直线的方程 求直线方程时，一是根据题目条件确定点和斜率或者确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法； 二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含有参数或待定系数)，再确定方程(即求出参数值)，此时求直线方程的方法可称为间接法(即为待定系数法)，这是最常用的方法． 【例1】 已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．求： (1)AC所在的直线的方程； (2)点B的坐标． [解] (1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0． 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11． 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0． (2)设B(x0，y0)，则AB的中点为． 联立得方程组 化简得解得故B(－1，－3)． 类型2 两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系如下表所示． 项目 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 (2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋n＝0． 【例2】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [解] (1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0． 即a2－a－b＝0．① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0．② 由①②解得a＝2，b＝2． (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a， 即b＝． 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0． ∵原点到l1与l2的距离相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝． 因此或 类型3 距离问题 解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表： 类型 已知条件 公式 两点间 的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直 线的距离 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) d＝(A2＋B2≠0) 两平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2) d＝ 【例3】 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程． [解] 当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3． 解得k＝±－6， ∴y＝x． 当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0． 综上，所求直线方程为y＝x或 x＋y－13＝0或x＋y－1＝0． 类型4 对称问题 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键． (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1(已知直线的斜率存在且不为零)；②两点的中点在已知直线上． (3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解． 【例4】 光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． [解] 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则 解之得，A′(－4，－3)． 由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0． 解方程组 ... ...
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