【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2 3.2.2 双曲线的简单几何性质 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

3.2.2　双曲线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养． 已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． 知识点1　双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x－a _____ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：_____，_____ 轴长 实轴长：2a　　　虚轴长：___ 渐近线 y＝±x y＝___ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的关系 c2＝_____(c>a>0，c>b>0) (2)双曲线的中心和等轴双曲线 ①双曲线的中心 双曲线的_____叫作双曲线的中心． ②等轴双曲线 ____和____等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为_____，离心率为． 1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的形状相同． (　　) (2)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的渐近线相同． (　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． (　　) 2．双曲线＝1的顶点坐标是(　　) A．(±5，0)　　　　　　 B．(±5，0)或(0，±3) C．(±4，0) D．(±4，0)或(0，±3) 知识点2　直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0． Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时(此时m≠0) 相交 只有____交点 k≠±且Δ＞0 有____交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点 k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点 2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．过点(0，b)的直线和双曲线＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　根据双曲线方程研究其几何性质 【例1】　(1)双曲线＝1的左顶点到其渐近线的距离为(　　) A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．3 (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 ... ...